Lambda 演算

Lambda 演算(lambda calculus, λ-calculus), 最初由阿隆佐·邱奇(Alonzo Church)提出, 是世界上最小的编程语言. 尽管没有数字, 字符串, 布尔或者任何非函数的数据类型, lambda 演算仍可以表示任何图灵机.

Lambda 演算由三种元素组成: 变量(variables)、函数(functions)和应用(applications)。

名称	语法	示例	解释
变量	`<变量名>`	`x`	一个名为"x"的变量
函数	`λ<参数>.<函数体>`	`λx.x`	一个以"x"(前者)为参数、以"x"(后者)为函数体的函数
应用	`<函数><变量或函数>`	`(λx.x)a`	以"a"为参数调用函数"λx.x"

最基本的函数为恒等函数: λx.x, 它等价于f(x) = x. 第一个"x"为函数的参数, 第二个为函数体.

自由变量和约束变量:

在函数λx.x中, "x"被称作约束变量因为它同时出现在函数体和函数参数中.
在λx.y中, "y"被称作自由变量因为它没有被预先声明.

求值:

求值操作是通过β-归约(β-Reduction)完成的, 它本质上是词法层面上的替换.

当对表达式(λx.x)a求值时, 我们将函数体中所有出现的"x"替换为"a".

(λx.x)a计算结果为: a
(λx.y)a计算结果为: y

你甚至可以创建高阶函数:

(λx.(λy.x))a计算结果为: λy.a

尽管 lambda 演算传统上仅支持单个参数的函数, 但我们可以通过一种叫作柯里化(Currying)的技巧创建多个参数的函数.

(λx.λy.λz.xyz)等价于f(x, y, z) = ((x y) z)

有时λxy.<body>与λx.λy.<body>可以互换使用.

认识到传统的 lambda 演算没有数字, 字符或者任何非函数的数据类型很重要.

布尔逻辑:

在 lambda 演算中没有"真"或"假". 甚至没有 1 或 0.

作为替换:

T表示为: λx.λy.x

F表示为: λx.λy.y

首先, 我们可以定义一个"if"函数λbtf, 它当b为真时返回t, b为假时返回f

IF等价于: λb.λt.λf.b t f

通过IF, 我们可以定义基本的布尔逻辑运算符:

a AND b等价于: λab.IF a b F

a OR b等价于: λab.IF a T b

NOT a等价于: λa.IF a F T

注意: IF a b c本质上指: IF((a b) c)

数字：

尽管 lambda 演算中没有数字, 我们还可以用邱奇编码(Church numerals)将数字嵌入到 lambda 演算中.

对于任意数字 n: n = λf.fⁿ 所以:

0 = λf.λx.x

1 = λf.λx.f x

2 = λf.λx.f(f x)

3 = λf.λx.f(f(f x))

要增加一个邱奇数, 我们使用后继函数S(n) = n + 1:

S = λn.λf.λx.f((n f) x)

使用后继函数, 我们可以定义加法:

ADD = λab.(a S)b

挑战: 试定义乘法函数!

变得更小: SKI, SK 和 Iota

SKI 组合子演算

令 S, K, I 为下列函数:

I x = x

K x y = x

S x y z = x z (y z)

我们可以将 lambda 演算中的表达式转换为 SKI 组合子演算中的表达式:

λx.x = I
λx.c = Kc
λx.(y z) = S (λx.y) (λx.z)

以邱奇数 2 为例:

2 = λf.λx.f(f x)

对于里面的部分 λx.f(f x):

  λx.f(f x)
= S (λx.f) (λx.(f x))          (case 3)
= S (K f)  (S (λx.f) (λx.x))   (case 2, 3)
= S (K f)  (S (K f) I)         (case 2, 1)

所以:

  2
= λf.λx.f(f x)
= λf.(S (K f) (S (K f) I))
= λf.((S (K f)) (S (K f) I))
= S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I)) (case 3)

对于第一个参数λf.(S (K f))有:

  λf.(S (K f))
= S (λf.S) (λf.(K f))       (case 3)
= S (K S) (S (λf.K) (λf.f)) (case 2, 3)
= S (K S) (S (K K) I)       (case 2, 3)

对于第二个参数λf.(S (K f) I)有：

  λf.(S (K f) I)
= λf.((S (K f)) I)
= S (λf.(S (K f))) (λf.I)             (case 3)
= S (S (λf.S) (λf.(K f))) (K I)       (case 2, 3)
= S (S (K S) (S (λf.K) (λf.f))) (K I) (case 1, 3)
= S (S (K S) (S (K K) I)) (K I)       (case 1, 2)

综上:

  2
= S (λf.(S (K f))) (λf.(S (K f) I))
= S (S (K S) (S (K K) I)) (S (S (K S) (S (K K) I)) (K I))

如果展开这个表达式, 我们最终又会得到邱奇数 2 的相同的表达式.

SK 组合子演算

SKI 组合子演算还可以进一步简化. 我们可以通过I = SKK移除 I 组合子. 我们可以将所有的 I 替换为 SKK.

ι 组合子

SK 组合子仍不是最简的. 定义:

ι = λf.((f S) K)

我们有:

I = ιι
K = ι(ιI) = ι(ι(ιι))
S = ι(K) = ι(ι(ι(ιι)))

Y分钟速成X

其中 X=Lambda Calculus