Teoria de conjuntos é uma área da matemática que estuda conjuntos, suas operações e propriedades.
∪
, significa "ou"∩
, que significa "e"\
, significa "sem" ou "menos"'
, que significa "o inverso de"×
,que significa "o produto cartesiano de":
ou |
, símbolos que significam "tal que"∈
, que significa "pertence a"⊆
, que significa "subconjunto de" (neste caso, o subconjunto pode ser igual ao conjunto)⊂
, que significa "subconjunto próprio" (neste caso, o subconjunto não pode ser igual ao conjunto)∅
, o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não possui itensℕ
, o conjunto de todos os números naturaisℤ
, o conjunto de todos os números inteirosℚ
, o conjunto de todos os números racionaisℝ
, o conjunto de todos os números reaisExistem algumas ressalvas sobre os conjuntos canônicos:
A cardinalidade (ou tamanho) de um conjunto é determinado pela quantidade de itens no conjunto. O operador de cardinalidade é |...|
Por exemplo, se S = {1, 2, 4}
, então |S| = 3
.
∅ = { x : x ≠ x }
, ou ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }
0
, ou seja, |∅| = 0
.Um conjunto pode ser contruído literalmente fornecendo uma lista completa dos itens contigos no conjunto. Por exemplo S = { a, b, c, d }
Listas longas podem ser encurtadas com reticências, desde que o contexto seja claro. Por exemplo, E = { 2, 4, 6, 8, ... }
é claramente o conjunto de todos os números pares, contendo um número infinito de objetos, embora só tenhamos escrito explicitamente quatro deles.
Conjuntos também podem ser descritos de uma maneira mais descritiva, baseando-se em sujeito e predicado, de forma tal que S = {sujeito : predicado}
. Por exemplo:
A = { x : x é uma vogal } = { a, e, i, o, u } (lê-se x, tal que x é uma vogal)
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
Ou pode-se também aplicar uma função ao sujeito, ex:
D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
a
está contido num conjunto A
, então dizemos que a
pertence a A
e denotamos por a ∈ A
a
não está contido no conjunto A
, então dizemos que a
não pertence a A
e denotamos por a ∉ A
A = B
{ 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }
{ 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }
A
e B
são iguais se, e somente se, A ⊆ B
e B ⊆ A
O Conjunto das Partes
A
um conjunto qualquer. O conjunto que contém todos os possíveis subconjuntos de A
é chamado "conjunto das partes" e é denotado como P(A)
. Se o conjunto A
contém n
elementos, então o conjunto das partes conterá 2^n
elementos.P(A) = { x : x ⊆ A }
Dados dois conjuntos A
e B
, a união entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em A
ou em B
, denotado por A ∪ B
.
A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }
Dados dois conjuntos A
e B
, a interseção entre esses dois conjuntos são os itens que aparecem em A
e em B
, denotado por A ∩ B
.
A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
Dados dois conjuntos A
e B
, o conjunto da diferença entre A
e B
são todos os itens de A
que não pertencem a B
.
A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
Dados dois conjuntos A
e B
, a diferença simétrica são todos os itens entre A
e B
que não aparecem na interseção desses dois conjuntos.
A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }
A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
Dados dois conjuntos A
e B
, o produto cartesiano de A
e B
consiste no conjunto contendo todas as combinações dos itens de A
e B
.
A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }
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Originalmente contribuído por Andrew Ryan Davis e atualizado por 3 colaboradores.