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La théorie des ensembles est une branche des mathématiques qui étudie les ensembles, leurs opérations et leurs propriétés.

• Un ensemble est une collection d'éléments disjoints.

Symboles de base

Opérateurs

• l'opérateur réunion, ∪, signifie "ou" ;
• l'opérateur intersection, ∩, signifie "et" ;
• l'opérateur différence, \, signifie "sans", (lire "A moins B") ;
• l'opérateur complémentaire, ', signifie "le complémentaire de" ;
• l'opérateur croix, ×, signifie "le produit cartésien de".

Autres symboles

• le symbole deux-points, :, signifie "tel que" ;
• le symbole d'appartenance, ∈, signifie "appartient à" ;
• le symbole sous-ensemble, ⊆, signifie "est un sous-ensemble de" ;
• le symbole sous-ensemble propre, ⊂, signifie "est un sous-ensemble de mais n'est pas égal à".

Ensembles importants

• ∅, l'ensemble vide, c'est-à-dire l'ensemble ne contenant aucun élément ;
• ℕ, l'ensemble des nombres naturels ;
• ℤ, l'ensemble des entiers ;
• ℚ, l'ensemble des nombres rationnels ;
• ℝ, l'ensemble des nombres réels.

Quelques mise en gardes sur les ensembles définis ci-dessus:

1. Même si l'ensemble vide ne contient aucun élément, il est lui-même un sous-ensemble de n'importe quel ensemble.
2. Il n'y a pas d'accord général sur l'appartenance de zéro dans l'ensemble des nombres naturels, et les livres indiquent explicitement si l'auteur considère le zéro comme nombre naturel ou pas.

Cardinalité

La cardinalité, ou taille, d'un ensemble est déterminée par le nombre d'éléments dans l'ensemble. L'opérateur de cardinalité s'écrit, | ... |. Par exemple, si S = { 1, 2, 4 }, alors |S| = 3.

L'ensemble vide

• L'ensemble vide peut se définir en compréhension à l'aide d'une propriété qui n'est satisfaite par nul élément, e.g. ∅ = { x : x ≠ x }, ou ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }.
• il n'y a qu'un seul ensemble vide.
• l'ensemble vide est sous-ensemble de tout ensemble.
• la cardinalité de l'ensemble vide est 0, ou |∅| = 0.

Notation ensembliste

Définition par extension

Un ensemble peut être defini en extension par une liste de tous les éléments qui sont contenus dans l'ensemble. Par exemple, S = { a, b, c, d }.

Quand le contexte est clair, on peut raccourcir la liste en utilisant des points de suspension. Par exemple, E = { 2, 4, 6, 8, ... } est clairement l'ensemble de tous les nombres pairs, contenant un nombre infini des éléments, même si on a explicitement écrit seulement les quatre premiers.

Définition par compréhension

C'est une notation plus descriptif qui permet de définir un ensemble à l'aide d'un sujet et d'une propriété, et il est noté S = { sujet : propriété }. Par exemple,

A = { x : x est une voyelle } = { a, e, i, o, u, y}
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

On peut même appliquer une fonction au sujet, e.g.

D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

Relations

Appartenance

• Si l'élément a est dans l'ensemble A, on dit que a appartient à A et on le note a ∈ A.
• Si l'élément a n'est pas dans l'ensemble A, on dit que a n'appartient pas à A et on le note a ∉ A.

Égalité

• On dit que deux ensembles A et B sont égaux s'ils contiennent les mêmes éléments, et on le note A = B.
• Les ensembles n'ont pas de notion d'ordre, par exemple { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }.
• Un élément ne peut apparaître qu'au plus une seule fois - il n'y a jamais de répétition, e.g. { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }.
• Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A ⊆ B et B ⊆ A.

Ensemble puissance

• L'ensemble puissance d'un ensemble A est l'ensemble contenant tous les sous-ensembles de A. Il est noté P(A). Si la cardinalité de A est n, la cardinalité de P(A) est 2^n.

P(A) = { x : x ⊆ A }

Opérations ensemblistes

Réunion

La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments qui appartient à A ou à B.

A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }

Intersection

L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments qui appartient à la fois à A et à B.

A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }

Différence

La différence de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments de l'ensemble A qui n'appartient pas à B.

A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }

Différence symétrique

Le différence symétrique de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments de A et B qui n'apparaissent pas dans leur intersection.

A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Produit cartésien

Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les couples dont le premier élément appartient à A et le deuxième à B.

A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }

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