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X分钟速成Y

其中 Y=Set theory

集合论是数学的一个分支,研究集合、它们的运算和它们的性质。

基本符号

运算符

限定词

重要的集合

关于以上集合,有如下几点需要注意: 1. 空集是其本身的子集(并且也是任何其他集合的子集),即便空集不包含任何项; 2. 数学家们对于零是否为自然数的看法通常并不统一,教科书一般会明确说明作者是否认为零是自然数。

基数

集合的基数,或者说大小,由该集合中的项目数量决定。基数运算符为 |...|

例如,若 S = { 1, 2, 4 },则 |S| = 3

空集

集合的表示

集合的逐项构造

集合可以通过包含其全部项的列表逐项生成。例如,S = { a, b, c, d }

只要构成集合的项清楚,长列表可以用省略号缩短。例如,E = { 2, 4, 6, 8, ... } 显然为所有偶数构成的集合,它包含无穷多项,虽然我们只显式写出了其中四项。

集合构造器

集合构造器符号是构造集合的一种更具描述性的方式。它依赖于一个主语和一个谓词,使得 S = { 主语 : 谓词 }。 例如,

A = { x : x 是元音字母 } = { a, e, i, o, u, y}
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

有时,谓词可能会 “漏 "到主语中,例如,

D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

关系

从属关系

相等关系

特殊集合

幂集

P(A) = { x : x ⊆ A }

两个集合的运算

给定集合 AB,两个集合的并由出现在 AB 中的项构成,记作 A ∪ B

A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }

给定集合 AB,两个集合的交由出现在 AB 中的项构成,记作 A ∩ B

A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }

给定集合 ABA 对于 B 的集合差指的是属于 A 但不属于 B 的每一项。

A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }

对称差

给定集合 AB,对称差指的是属于 AB 但不属于它们交集的所有项。

A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

笛卡尔积

给定集合 ABAB 的笛卡尔积由 AB 的项的所有组合构成。

A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }

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