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Apprendre X en Y minutes

Où X=Set theory

La théorie des ensembles est une branche des mathématiques qui étudie les ensembles, leurs opérations et leurs propriétés.

Symboles de base

Opérateurs

Autres symboles

Ensembles importants

Quelques mise en gardes sur les ensembles définis ci-dessus: 1. Même si l'ensemble vide ne contient aucun élément, il est lui-même un sous-ensemble de n'importe quel ensemble. 2. Il n'y a pas d'accord général sur l'appartenance de zéro dans l'ensemble des nombres naturels, et les livres indiquent explicitement si l'auteur considère le zéro comme nombre naturel ou pas.

Cardinalité

La cardinalité, ou taille, d'un ensemble est déterminée par le nombre d'éléments dans l'ensemble. L'opérateur de cardinalité s'écrit, | ... |. Par exemple, si S = { 1, 2, 4 }, alors |S| = 3.

L'ensemble vide

Notation ensembliste

Définition par extension

Un ensemble peut être defini en extension par une liste de tous les éléments qui sont contenus dans l'ensemble. Par exemple, S = { a, b, c, d }.

Quand le contexte est clair, on peut raccourcir la liste en utilisant des points de suspension. Par exemple, E = { 2, 4, 6, 8, ... } est clairement l'ensemble de tous les nombres pairs, contenant un nombre infini des éléments, même si on a explicitement écrit seulement les quatre premiers.

Définition par compréhension

C'est une notation plus descriptif qui permet de définir un ensemble à l'aide d'un sujet et d'une propriété, et il est noté S = { sujet : propriété }. Par exemple,

A = { x : x est une voyelle } = { a, e, i, o, u, y}
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

On peut même appliquer une fonction au sujet, e.g.

D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

Relations

Appartenance

Égalité

Ensemble puissance

P(A) = { x : x ⊆ A }

Opérations ensemblistes

Réunion

La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments qui appartient à A ou à B.

A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }

Intersection

L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments qui appartient à la fois à A et à B.

A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }

Différence

La différence de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments de l'ensemble A qui n'appartient pas à B.

A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }

Différence symétrique

Le différence symétrique de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments de A et B qui n'apparaissent pas dans leur intersection.

A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

Produit cartésien

Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les couples dont la première élément appartient à A et la deuxième à B.

A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }

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Version originale par kieutrang, mis à jour par 0 contributeur(s).