La théorie des ensembles est une branche des mathématiques qui étudie les ensembles, leurs opérations et leurs propriétés.
∪, signifie “ou” ;∩, signifie “et” ;\, signifie “sans”, (lire “A moins B”) ;', signifie “le complémentaire de” ;×, signifie “le produit cartésien de”.:, signifie “tel que” ;∈, signifie “appartient à” ;⊆, signifie “est un sous-ensemble de” ;⊂, signifie “est un sous-ensemble de mais n'est pas égal à”.∅, l'ensemble vide, c'est-à-dire l'ensemble ne contenant aucun élément ;ℕ, l'ensemble des nombres naturels ;ℤ, l'ensemble des entiers ;ℚ, l'ensemble des nombres rationnels ;ℝ, l'ensemble des nombres réels.Quelques mise en gardes sur les ensembles définis ci-dessus: 1. Même si l'ensemble vide ne contient aucun élément, il est lui-même un sous-ensemble de n'importe quel ensemble. 2. Il n'y a pas d'accord général sur l'appartenance de zéro dans l'ensemble des nombres naturels, et les livres indiquent explicitement si l'auteur considère le zéro comme nombre naturel ou pas.
La cardinalité, ou taille, d'un ensemble est déterminée par le nombre d'éléments dans l'ensemble. L'opérateur de cardinalité s'écrit, | ... |.
Par exemple, si S = { 1, 2, 4 }, alors |S| = 3.
∅ = { x : x ≠ x }, ou ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }.|∅| = 0.Un ensemble peut être defini en extension par une liste de tous les éléments qui sont contenus dans l'ensemble. Par exemple, S = { a, b, c, d }.
Quand le contexte est clair, on peut raccourcir la liste en utilisant des points de suspension. Par exemple, E = { 2, 4, 6, 8, ... } est clairement l'ensemble de tous les nombres pairs, contenant un nombre infini des éléments, même si on a explicitement écrit seulement les quatre premiers.
C'est une notation plus descriptif qui permet de définir un ensemble à l'aide d'un sujet et d'une propriété, et il est noté S = { sujet : propriété }. Par exemple,
A = { x : x est une voyelle } = { a, e, i, o, u, y}
B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
On peut même appliquer une fonction au sujet, e.g.
D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }
a est dans l'ensemble A, on dit que a appartient à A et on le note a ∈ A.a n'est pas dans l'ensemble A, on dit que a n'appartient pas à A et on le note a ∉ A.A et B sont égaux s'ils contiennent les mêmes éléments, et on le note A = B.{ 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }.{ 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }.A et B sont égaux si et seulement si A ⊆ B et B ⊆ A.A est l'ensemble contenant tous les sous-ensembles de A. Il est noté P(A). Si la cardinalité de A est n, la cardinalité de P(A) est 2^n.P(A) = { x : x ⊆ A }
La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments qui appartient à A ou à B.
A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }
L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments qui appartient à la fois à A et à B.
A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
La différence de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments de l'ensemble A qui n'appartient pas à B.
A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
Le différence symétrique de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les éléments de A et B qui n'apparaissent pas dans leur intersection.
A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }
A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l'ensemble contenant tous les couples dont le premier élément appartient à A et le deuxième à B.
A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }
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